Elo 레이팅으로 팀 전력 비교하기: 기대 승률 공식과 계산 예시

두 팀 중 어느 쪽이 더 강한지 말할 때 우리는 보통 순위나 최근 성적을 떠올립니다. 하지만 순위는 일정의 운에 따라 흔들리고, 최근 성적은 상대가 누구였는지를 반영하지 않습니다. Elo 레이팅은 이 문제를 "누구를 상대로 이겼는가"까지 숫자에 담아 해결하려는 방법입니다.

Elo 레이팅은 물리학자 아르파드 엘로(Arpad Elo)가 체스 선수의 실력을 평가하기 위해 만든 방식입니다. 지금은 체스뿐 아니라 축구 국가대표 순위 비교, 여러 프로 리그의 전력 분석에도 응용됩니다.

이 글에서는 기대 승률 공식을 풀어 보고, K값과 홈 보정이 무엇인지 설명한 뒤, 가상의 팀 A·B로 경기 전후 레이팅 변화를 직접 계산합니다. 마지막으로 Elo가 할 수 없는 일, 즉 한계도 정직하게 정리합니다.

Elo의 기본 아이디어

Elo의 핵심은 단순합니다.

1. 모든 팀(또는 선수)은 하나의 숫자, 레이팅을 갖습니다.
2. 두 팀의 레이팅 차이로 기대 결과를 계산합니다.
3. 경기가 끝나면 실제 결과와 기대 결과의 차이만큼 레이팅을 조정합니다.

강팀이 약팀을 이기면 "예상대로"이므로 레이팅이 조금만 오릅니다. 약팀이 강팀을 이기면 "예상 밖"이므로 크게 오릅니다. 이렇게 경기가 쌓이면서 레이팅은 점점 실제 전력에 가까워지도록 설계돼 있습니다.

기대 승률 공식 풀어 보기

팀 A의 레이팅에서 팀 B의 레이팅을 뺀 값을 d라고 하면, A의 기대 결과(기대 승률)는 다음과 같습니다.

E(A) = 1 ÷ (1 + 10^(−d ÷ 400))

B의 기대 결과는 1 − E(A)입니다. 레이팅 차이가 0이면 10^0 = 1이므로 1 ÷ (1 + 1) = 0.5, 즉 50%입니다.

레이팅 차이가 100점일 때를 단계별로 계산해 보겠습니다.

• −d ÷ 400 = −100 ÷ 400 = −0.25
• 10^(−0.25) ≈ 0.5623
• 1 ÷ (1 + 0.5623) = 1 ÷ 1.5623 ≈ 0.6401 → 약 64.0%

같은 방식으로 계산한 차이별 기대 승률은 다음과 같습니다.

400점 차이에서는 10^(−1) = 0.1이므로 1 ÷ 1.1 ≈ 0.909가 됩니다. 400점마다 상대적 강도가 10배씩 벌어지도록 만든 척도라는 뜻입니다. 여기서 "기대 승률"은 무승부를 0.5승으로 셈한 기대 점수라는 점에 주의합니다.

반대로 기대 승률에서 레이팅 차이를 거꾸로 구할 수도 있습니다. 공식을 정리하면 d = 400 × log10(p ÷ (1 − p))입니다. 예를 들어 기대 승률 p = 0.60이라면 0.60 ÷ 0.40 = 1.5, log10(1.5) ≈ 0.1761이므로 d ≈ 400 × 0.1761 ≈ 70.4점입니다. p = 0.75라면 0.75 ÷ 0.25 = 3, log10(3) ≈ 0.4771이므로 d ≈ 190.8점입니다. 이 역산을 알면 "60% 정도 우세하다"는 말을 레이팅 차이 약 70점으로 바꿔 생각할 수 있어, 서로 다른 자료의 전력 평가를 같은 척도로 맞춰 보는 데 도움이 됩니다.

K값: 한 경기로 얼마나 움직일 것인가

경기 후 레이팅은 다음 식으로 갱신합니다.

새 레이팅 = 기존 레이팅 + K × (실제 결과 − 기대 결과)

실제 결과는 승리 1, 무승부 0.5, 패배 0입니다. K값은 한 경기 결과를 얼마나 크게 반영할지 정하는 계수입니다.

• K가 크면: 최근 결과에 빠르게 반응하지만, 우연한 결과에도 크게 흔들립니다.
• K가 작으면: 안정적이지만, 전력 변화를 늦게 따라갑니다.

체스의 국제체스연맹(FIDE)은 신규 선수나 어린 선수에게 40, 일반 선수에게 20, 높은 레이팅에 도달한 선수에게 10을 쓰는 식으로 K값을 나눕니다. 축구 국가대표 비교에 쓰이는 World Football Elo Ratings는 월드컵 본선 같은 중요한 대회일수록 K를 크게(친선 경기 20에서 주요 대회 60까지) 두고, 점수 차가 클수록 가중치를 더하는 방식을 씁니다. 세부 규칙은 위키백과의 World Football Elo Ratings 문서에서 확인할 수 있습니다.

홈 보정: 레이팅 차이에 점수를 더하기

홈 이점을 반영하려면 기대 승률을 계산할 때 홈팀 레이팅에 일정 점수를 더합니다. World Football Elo Ratings는 홈팀에 100점을 더하는 방식을 씁니다. 리그마다 적절한 값은 다르므로, 직접 모델을 만든다면 해당 리그의 과거 홈 성적으로 값을 정해야 합니다. 홈 이점의 크기가 종목마다 어떻게 다른지는 홈 어드밴티지 데이터 글에서 다룹니다.

가상의 팀 A(레이팅 1550)가 홈에서 가상의 팀 B(1500)를 만난다고 해 봅시다.

• 홈 보정 없이: d = 50 → A 기대 승률 약 57.1%
• 홈 보정 100점 적용: d = 1550 + 100 − 1500 = 150 → A 기대 승률 약 70.3%

홈 보정 하나로 기대 승률이 13%포인트 넘게 달라집니다. 그만큼 보정값을 어떻게 정하느냐가 결과에 큰 영향을 줍니다.

직접 계산 예시: 경기 후 레이팅 변화

위 상황에서 K = 20, A의 기대 결과 E(A) = 0.7034, B의 기대 결과 E(B) = 0.2966으로 두고, 세 가지 결과별 변화를 계산합니다. 홈 보정은 기대 결과 계산에만 쓰고, 실제 레이팅에는 더하지 않습니다.

몇 가지를 확인할 수 있습니다.

• 한 팀이 얻은 점수만큼 다른 팀이 잃으므로, 두 팀 레이팅의 합(3,050)은 그대로입니다.
• 기대 승률이 높았던 A는 이겨도 6점 정도만 오르고, 지면 14점 넘게 내려갑니다.
• 무승부도 A에게는 "기대보다 못한 결과"라 레이팅이 내려갑니다.

Elo 레이팅의 한계

Elo는 간단하고 투명하다는 장점이 있지만, 분명한 한계가 있습니다.

결국 Elo가 계산한 "70.3%"는 모델이 가정한 숫자이지, 실제 확률을 보장하지 않습니다. 이 기대 승률을 배당이 의미하는 확률과 비교하는 방법은 배당률을 확률로 바꾸는 법과 기대값 기초에서 이어서 볼 수 있습니다. 득점 수까지 모델로 다루고 싶다면 푸아송 득점 모델 글이 다음 단계입니다.

자주 묻는 질문

Elo 레이팅은 몇 점에서 시작하나요?

정해진 값은 없습니다. 많은 모델이 리그 평균을 1500 같은 기준값으로 두고 시작합니다. 중요한 것은 절대값이 아니라 두 팀 사이의 차이입니다.

K값은 어떻게 정해야 하나요?

과거 데이터로 여러 K값을 시험해 보고, 경기 결과를 가장 잘 설명하는 값을 고르는 방법이 일반적입니다. 경기 수가 많은 종목일수록 작은 K로도 충분히 따라가고, 경기 수가 적은 종목은 K를 조금 크게 두기도 합니다.

Elo 기대 승률이 높으면 그 팀이 이기나요?

아닙니다. 70% 기대 승률은 비슷한 조건의 경기를 많이 치렀을 때 약 10번 중 3번은 이기지 못한다는 뜻입니다. 한 경기의 결과는 언제나 불확실합니다. 토토의 기본 구조와 합법 발매처는 스포츠토토 입문 가이드에서 확인할 수 있습니다.